Angewandte Mathematik: Body and Soul: [BAND 2] Integrale und Geometrie in ℝ n

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Vorwort......Page 6
Inhalt Band 2......Page 16
27.1 Stammfunktionen und Integrale......Page 25
27.2 Stammfunktion von f(x) = xm für m = 0, 1, 2, . . .......Page 29
27.4 Stammfunktion von f(x) = xr für r = −1......Page 30
27.5 Ein kurzer Überblick über den bisherigen Fortschritt......Page 31
27.6 ”Sehr kurzer Beweis“ des Fundamentalsatzes......Page 32
27.7 ”Kurzer Beweis“ des Fundamentalsatzes......Page 33
27.8 Beweis des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung......Page 34
27.9 Bemerkungen zur Schreibweise......Page 41
27.12 Geometrische Interpretation des Integrals......Page 42
27.13 Das Integral als Grenzwert Riemannscher Summen......Page 45
Aufgaben zu Kapitel 27......Page 46
28.1 Einleitung......Page 49
28.3 Das Ganze ergibt sich aus Teilsummen......Page 50
28.4 Integration stückweise Lipschitz-stetiger Funktionen......Page 51
28.5 Linearität......Page 52
28.7 Dreiecksungleichung für Integrale......Page 53
28.8 Ableitung und Integration sind inverse Operationen......Page 54
28.9 Änderung der Variablen oder Substitution......Page 55
28.10 Partielle Integration......Page 57
28.11 Der Mittelwertsatz......Page 58
28.13 Funktionen mit Ableitung Null sind konstant......Page 60
28.15 Satz von Taylor......Page 61
28.16 29. Oktober 1675......Page 64
28.17 Das Hodometer......Page 65
Aufgaben zu Kapitel 28......Page 66
29.1 Die Definition von log(x)......Page 69
29.2 Die Bedeutung des Logarithmuses......Page 70
29.3 Wichtige Eigenschaften von log(x)......Page 71
Aufgaben zu Kapitel 29......Page 73
30.1 Berechnung von Integralen......Page 75
30.2 Das Integral als Grenzwert Riemannscher Summen......Page 79
30.3 Die Mittelpunktsmethode......Page 80
30.4 Adaptive Quadratur......Page 82
Aufgaben zu Kapitel 30......Page 85
31.1 Einleitung......Page 87
31.2 Konstruktion der Exponentialfunktion exp(x) für x ≥ 0......Page 89
31.4 Die Exponentialfunktion exp(x) für x ∈ R......Page 94
31.5 Eine wichtige Eigenschaft von exp(x)......Page 95
31.6 Die Inverse der Exponentialfunktion ist der Logarithmus......Page 96
31.7 Die Funktion ax mit a > 0 und x ∈ R......Page 97
Aufgaben zu Kapitel 31......Page 98
32.1 Die definierende Differentialgleichung......Page 100
32.2 Trigonometrische Formeln......Page 104
32.3 Die Funktionen tan(x) und cot(x) und deren Ableitungen......Page 105
32.4 Inverse der trigonometrischen Funktionen......Page 106
32.5 Die Funktionen sinh(x) und cosh(x)......Page 108
32.6 Die hängende Kette......Page 109
Aufgaben zu Kapitel 32......Page 110
33.2 Definition von exp(z)......Page 113
33.4 Formel von de Moivres......Page 114
Aufgaben zu Kapitel 33......Page 115
34.1 Einleitung......Page 116
34.2 Rationale Funktionen: Einfache Fälle......Page 117
34.3 Rationale Funktionen: Partialbruchzerlegung......Page 118
34.4 Produkte von trigonometrischen oder Exponentialfunktionen mit Polynomen......Page 123
34.7 Produkte von Polynomen mit dem Logarithmus......Page 124
Aufgaben zu Kapitel 34......Page 125
35.1 Einleitung......Page 126
35.2 Verallgemeinerung auf u'(x) = λ(x)u(x) + f(x)......Page 127
35.3 Die Differentialgleichung u''(x) − u(x) = 0......Page 131
35.4 Die Differentialgleichung 
nk=0 akDku(x) = 0......Page 132
35.5 Die Differentialgleichung 
nk=0 akDku(x) = f(x)......Page 133
35.6 Eulersche Differentialgleichung......Page 134
Aufgaben zu Kapitel 35......Page 135
36.2 Integrale über unbeschränkte Intervalle......Page 137
36.3 Integrale von unbeschränkten Funktionen......Page 140
Aufgaben zu Kapitel 36......Page 141
37.1 Einleitung......Page 142
37.2 Definition der Konvergenz unendlicher Reihen......Page 143
37.3 Positive Reihen......Page 145
37.4 Absolut konvergente Reihen......Page 147
37.6 Die Reihe 
∞i=1 1i divergiert theoretisch!......Page 148
37.7 Abel......Page 150
37.8 Galois......Page 151
Aufgaben zu Kapitel 37......Page 152
38.1 Einleitung......Page 154
38.2 Eine analytische Lösungsformel......Page 155
38.3 Konstruktion der Lösung......Page 158
Aufgaben zu Kapitel 38......Page 161
39.1 Einleitung......Page 162
39.2 Eine analytische Lösungsformel......Page 163
39.3 Räuber-Beute-Modell nach Volterra-Lotka......Page 165
39.4 Eine Verallgemeinerung......Page 166
Aufgaben zu Kapitel 39......Page 168
40.1 Einleitung......Page 170
40.2 Determinismus und Materialismus......Page 172
40.3 Vorhersagbarkeit und Berechenbarkeit......Page 173
40.4 Konstruktion der Lösung......Page 174
40.6 Erweiterung auf Anfangswertprobleme zweiter Ordnung......Page 176
40.7 Numerische Methoden......Page 177
Aufgaben zu Kapitel 40......Page 179
41.2 Rationale Zahlen......Page 180
41.4 Polynome und rationale Funktionen......Page 181
41.6 Ableitungen......Page 182
41.8 Nullstellen von f(x) für f : R → R......Page 183
41.9 Integrale......Page 184
41.11 Die Exponentialfunktion......Page 185
41.12 Die trigonometrischen Funktionen......Page 186
41.14 Reihen......Page 188
41.16 Separierbare skalare Anfangswertprobleme......Page 189
42.1 Einleitung und Überblick über wichtige Ziele......Page 190
42.3 Die Vektorraumstruktur des Rn......Page 193
42.4 Das Skalarprodukt und Orthogonalität......Page 194
42.5 Cauchysche Ungleichung......Page 195
42.6 Linearkombinationen einer Menge von Vektoren......Page 196
42.8 Lineare Unabhängigkeit......Page 198
42.9 Reduktion einer Menge von Vektoren zu einer Basis......Page 199
42.10 Erzeugen einer Basis durch Spaltenstaffelung......Page 200
42.11 Bestimmung von B(A) durch Spaltenstaffelung......Page 202
42.12 Bestimmung von N(A) durch Zeilenstaffelung......Page 203
42.13 Das Gausssche Eliminationsverfahren......Page 205
42.14 Eine Basis für Rn enthält n Vektoren......Page 206
42.15 Koordinaten in verschiedenen Basen......Page 207
42.17 Lineare Abbildungen: f : Rn → Rm......Page 209
42.19 Matrixberechnungen......Page 210
42.21 Matrixnormen......Page 213
42.22 Die Lipschitz-Konstante einer linearen Abbildung......Page 214
42.23 Das Volumen in Rn: Determinanten und Permutationen......Page 215
42.24 Definition des Volumens V (a1,..., an)......Page 216
42.25 Das Volumen V (a1, a2) in R²......Page 217
42.27 Das Volumen V (a1, a2, a3, a4) in R4......Page 218
42.30 Berechnung von detA mit Hilfe der Spaltenstaffelung......Page 219
42.32 Nachprüfen der linearen Unabhängigkeit......Page 220
42.33 Die Cramersche Regel für nicht-singuläre Systeme......Page 221
42.34 Die inverse Matrix......Page 223
42.35 Projektion auf einen Unterraum......Page 224
42.36 Eine äquivalente Charakterisierung der Projektion......Page 225
42.37 Orthogonale Zerlegung: Der Satz von Pythagoras......Page 226
42.39 Orthogonalisierung: Das Gram-Schmidt Verfahren......Page 227
42.40 Orthogonale Matrizen......Page 228
42.42 Die QR-Zerlegung......Page 229
42.43 Der Fundamentalsatz der linearen Algebra......Page 230
42.44 Basiswechsel: Koordinaten und Matrizen......Page 231
42.45 Methode der kleinsten Fehlerquadrate......Page 232
Aufgaben zu Kapitel 42......Page 234
43.1 Eigenwerte und Eigenvektoren......Page 236
43.2 Basis von Eigenvektoren......Page 238
43.3 Ein einfacher Spektralsatz für symmetrische Matrizen......Page 239
43.4 Anwendung des Spektralsatzes für ein AWP......Page 240
43.5 Der allgemeine Spektralsatz für symmetrische Matrizen......Page 241
43.6 Die Norm einer symmetrischen Matrix......Page 244
Aufgaben zu Kapitel 43......Page 245
44.2 Direkte Methoden......Page 246
44.3 Direkte Methoden für Spezialfälle......Page 254
44.4 Iterative Methoden......Page 257
44.5 Fehlerschätzungen......Page 268
44.6 Die Methode der konjugierten Gradienten......Page 271
44.7 GMRES......Page 273
Aufgaben zu Kapitel 44......Page 276
45.1 Lineare Algebra in R²......Page 281
45.3 Lineare Algebra in Rn......Page 282
45.4 Lineare Abbildungen und Matrizen......Page 283
45.6 Die Cramersche Regel......Page 284
45.10 QR-Zerlegung......Page 285
45.15 Die Methode der konjugierten Gradienten......Page 286
46.1 Einleitung......Page 287
46.2 Berechnung von exp(xA) für diagonalisierbares A......Page 288
46.4 Die Methode von Duhamel......Page 290
Aufgaben zu Kapitel 46......Page 291
47.1 Einleitung......Page 292
47.2 Ein Masse-Feder System......Page 294
47.3 Ein Pendel mit fixierter Aufhängung......Page 295
47.4 Ein Pendel mit beweglicher Aufhängung......Page 296
47.5 Das Prinzip der kleinsten Wirkung......Page 297
47.7 Das doppelte Pendel......Page 298
47.9 Stabilität der Bewegung eines Pendels......Page 300
Aufgaben zu Kapitel 47......Page 301
48.1 Einleitung......Page 303
48.2 Massen und Federn......Page 304
48.3 Das N-Körper Problem......Page 306
48.4 Massen, Federn und Pralltöpfe: Kleine Auslenkungen......Page 307
48.5 Berücksichtigung von Pralltöpfen......Page 308
48.7 Der lineare Oszillator......Page 310
48.8 Gedämpfter linearer Oszillator......Page 311
48.9 Erweiterungen......Page 313
Aufgaben zu Kapitel 48......Page 314
49.1 Einleitung......Page 315
49.2 Das vereinfachte Wachstumsmodell......Page 316
49.3 Das vereinfachte Abnahme-Modell......Page 318
49.4 Das vollständige Modell......Page 319
Aufgaben zu Kapitel 49......Page 321
50.1 Einleitung......Page 323
50.2 Schleifen, Widerstände und Kondensatoren......Page 324
50.3 Aufbau von Stromkreisen: Die Kirchhoffschen Gesetze......Page 325
50.4 Wechselseitige Induktion......Page 326
Aufgaben zu Kapitel 50......Page 327
51.1 Einleitung......Page 328
51.2 Ein lineares System......Page 329
51.4 Ein hartes System......Page 330
51.5 Untersuchung der Phasenebene......Page 331
Aufgaben zu Kapitel 51......Page 332
52.1 Einleitung......Page 333
52.2 Lineare Interpolation auf [0, 1]......Page 334
52.3 Der Raum der stetigen stückweise linearen Funktionen......Page 339
52.4 Die L2-Projektion auf Vh......Page 342
Aufgaben zu Kapitel 52......Page 345
53.1 Einleitung......Page 346
53.2 Anfangs-Randwertprobleme......Page 349
53.4 Die finite Element-Methode......Page 350
53.5 Das diskrete Gleichungssystem......Page 354
53.6 Berücksichtigung verschiedener Randbedingungen......Page 356
53.7 Fehlerabschätzungen und adaptive Fehlerkontrolle......Page 360
53.8 Diskretisierung von zeitabhängigen Reaktions-Diffusions-Konvektions Problemen......Page 364
53.9 Nicht-lineare Reaktions-Diffusions-Konvektions Probleme......Page 365
Aufgaben zu Kapitel 53......Page 366
Literaturverzeichnis......Page 368
Sachverzeichnis......Page 370